Question

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点，
(1)求四棱锥P-ABCD的体积；
(2)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
(3)若点E为PC的中点，求二面角D-AE-B的大小．

Answer 1

解：(1)由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形， 侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2， ∴， 即四棱锥P-ABCD的体积为； (2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE； 证明如下：连接AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD⊥AC， ∵PC⊥底面ABCD，且BD平面ABCD， ∴BD⊥PC， 又∵AC∩PC=C， ∴BD⊥平面PAC， ∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC， ∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE；
(3)如图，在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF， ∵AD=AB=1，， ∴Rt△ADF≌Rt△ABE， 从而△ADF≌△ABF， ∴BF⊥AE， ∴∠DFB为二面角D-AE-B的平面角， 在Rt△ADE中，， 又， 在△DFB中，由余弦定理得 ， ∴， 即二面角D-AE-B的大小为。