Question

（本题16分）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）存在，，(3) 最小值

【解析】利用抛物线的几何性质、圆的方程以及直线与圆锥曲线的位置关系求解。

试题分析：

（1）由题意，知，圆心在线段的中垂线上，抛物线准线方程为，所以，得，，抛物线方程为……………………….4分

（2）假设存在点满足条件，抛物线在点处的切线斜率为，所以，直线，令，得，故，

又，得，，由，解得，满足条件。…………………………………………8分

（3）当时，由（2）知，圆的半径，

圆设，由，整理得 ，，

设，由，整理得，

，令，，，

，

，当时，，在递增，故当，即时，有最小值……………………………………………………………….16分

考点：本题主要考查了抛物线的几何性质、圆的方程以及直线与圆锥曲线的位置关系等，综合考查了学生的运算求解能力和推理论证能力。

点评：解决此题的关键是掌握抛物线的几何性质、圆的方程以及直线与圆锥曲线的位置关系等知识以及较强的运算求解能力和推理论证能力，难度很大。