Question

已知函数f（x）=2^|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+2m-8．
（Ⅰ）若m=2，求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若方程f（x）=2^|m|在x∈[-4，+∞）恒有唯一解，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若对任意x₁∈（-∞，4]，均存在x₂∈[4，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把m=2代入函数g（x）中，进而求得g（x）的函数表达式，进而根据二次函数的性质求得g（x）的单调区间．
（Ⅱ）由题意可知|x-m|=|m|在x∈[-4，+∞）恒有唯一解．进而分别看x-m=-m和x-m=m时根据x的范围求得m的 范围．
（Ⅲ）通过分析题设条件可知f（x）的值域应是g（x）的值域的子集．进而看当4≤m≤8，m＞8，0＜m＜4和m≤0根据g（x）的单调性求得m的范围．

解答：解：（Ⅰ）m=2时，g(x)=

x2-2x-4  (x≥2) -x2+2x-4(x＜2)

，
函数g（x）的单调增区间为（-∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．
（Ⅱ）由f（x）=2^|x-m|在x∈[-4，+∞）恒有唯一解，2^|x-m|=2^|m|，得|x-m|=|m|在x∈[-4，+∞）
恒有唯一解．当x-m=-m时，得x=0∈[-4，+∞）；
当x-m=m时，得x=2m，则2m=0或2m＜-4，即m＜-2或m=0．
综上，m的取值范围是m＜-2或m=0．
（Ⅲ）f(x)=

2x-m (x≥m) 2m-x(x＜m)

，则f（x）的值域应是g（x）的值域的子集．
①当4≤m≤8时，f（x）在（-∞，4]上单调减，
故f（x）≥f（4）=2^m-4，g（x）在[4，m]上单调减，[m，+∞）上单调增，
故g（x）≥g（m）=2m-8，
所以2^m-4≥2m-8，解得4≤m≤5或6≤m≤8．
②当m＞8时，f（x）在（-∞，4]上单调减，
故f（x）≥f（4）=2^m-4，g（x）在[4，

m

2

]单调增，[

m

2

，m]上单调减，[m，+∞）上单调增，g（4）=4m-16＞g（m）=2m-8
故g（x）≥g（m）=2m-8，所以2^m-4≥2m-8，解得4≤m≤5或m≥6．
③0＜m＜4时，f（x）在（-∞，m]上单调减，[m，4]上单调增，故f（x）≥f（m）=1．g（x）在[4，+∞）上单调增，故g（x）≥g（4）=8-2m，
所以8-2m≤1，即

7

2

≤m＜4．
④m≤0时，f（x）在（-∞，m]上单调减，[m，4]上单调增，故f（x）≥f（m）=1．g（x）在[4，+∞）上单调增，
故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m≤1，即m≥

7

2

．（舍去）
综上，m的取值范围是[

7

2

，5]∪[6，+∞)．

点评：本题主要考查了函数单调性和及单调区间的问题．函数单调性的问题是函数的基础知识，应熟练掌握．