Question

已知函数f(x)=(log3

x

27

)(log33x)
（1）设log₃x=t，试将f（x）表示成t的函数g（t）；
（2）若x∈[

1

27

，

1

9

]，求函数f（x）最大值和最小值；
（3）若方程f（x）+m=0有两根α，β，试求α•β的值．

Answer 1

分析：（1）利用对数的运算法则商的对数法则及积的对数法则将f（x）用t表示．
（2）由x的范围t的范围，利用二次函数的对称轴公式求出对称轴，利用二次函数的单调性求出二次函数的最值．
（3）利用二次方程根与系数的关系得到α，β满足的等式，求出αβ的值．

解答：解：（1）f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）
令log₃x=t，∴g（t）=t²-2t-3，
（2）由（1）及题设得t∈[-3，-2]
又g（t）的对称轴t=1，故g（t）在[-3，-2]上是减函数
∴f_max（x）=g（-3）=12
f_min（x）=g（-2）=5
（3）即方程（log₃x）²-2log₃x-3+m=0的两解为α，β
∴log₃α+log₃β=2
∴log₃α•β=2
∴α•β=9

点评：本题考查对数函数的运算法则、二次函数最值的求法、二次方程的韦达定理．