Question

已知函数f（x）=

sin2x+2sin2x

1+tanx

-2

3

cos2x+

3

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，求f（x）的值域；
（3）若f（x）=

2

3

，且x∈[

π

6

，

π

3

]，求cos2x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦函数的图象

专题：综合题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由

1+tanx≠0 x≠kπ+ π 2 (k∈Z)

即可求得函数f（x）的定义域；
（2）将已知关系式中的切化弦，利用降幂公式与辅助角公式可化简为f（x）=2sin（2x-

π

3

），于是x∈[-

π

6

，

π

3

]时，2x-

π

3

∈[-

2π

3

，

π

3

]，利用正弦函数的单调性与最值即可求得其值域；
（3）易求sin（2x-

π

3

）=

1

3

，x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒2x-

π

3

∈[0，

π

3

]，于是可得cos（2x-

π

3

）=

2 2

3

，利用两角和的余弦即可求cos2x的值．

解答： 解：（1）f（x）=

2sinx(sinx+cosx)

sinx+cosx cosx

-

3

（2cos²x-1）
=sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

），
（1）由已知有：

1+tanx≠0 x≠kπ+ π 2 (k∈Z)

⇒

x≠kπ- π 4 x≠kπ+ π 2

k∈Z，
函数f（x）的定义域为：{x|x≠kπ-

π

4

且x≠kπ+

π

2

，k∈Z}；
（2）x∈[-

π

6

，

π

3

]时，2x-

π

3

∈[-

2π

3

，

π

3

]，sin（2x-

π

3

）∈[-1，

3

2

]，
∴f（x）的值域为[-2，

3

]．
（3）由f（x）=

2

3

，得sin（2x-

π

3

）=

1

3

，又x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x-

π

3

∈[0，

π

3

]，
∴cos（2x-

π

3

）=

2 2

3

，
∴cos2x=cos[（2x-

π

3

）+

π

3

]=cos（2x-

π

3

）cos

π

3

-sin（2x-

π

3

）sin

π

3

=

2 2 - 3

6

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查函数的定义域、正弦函数的值域，考查两角和的余弦，突出考查转化思想与综合运算能力，属于难题．