Question

（本小题满分14分）已知函数其中为常数，函数和的图象在它们与坐标轴交点的切线互相平行．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）单调递增区间为，单调递减区间为；（3）．

【解析】

试题分析：（1）利用导数的几何意义进行求解；（2）求导，利用导数的符号求函数的单调区间；（3）构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．

试题解析：（Ⅰ）与坐标轴交点为，， 1分

与坐标轴交点为， 2分

解得，又，故 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

5分

令，显然函数在区间上单调递减，且 6分

当时，，，在上单调递增

当时，，，在上单调递减 8分

故的单调递增区间为，单调递减区间为． 9分

（2）原不等式等价于：在区间上恒成立．

设

则 10分

令

11分

①时，在区间上单调递增，

在上单调递增，

不符合题意，舍去． 12分

②当时，若

则在上单调递增，

在上单调递增，

不符合题意，舍去． 13分

③当时，在恒成立，

在上单调递减

在上单调递减

即对恒成立，

综上所述，实数的取值范围是．

考点：1．导数的几何意义；2．函数的单调性；3．不等式恒成立问题．

考点分析： 考点1：导数及其应用 试题属性

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