Question

（本小题满分12分）已知函数,其中常数 .

（1）当时，求函数的极大值；

（2）试讨论在区间上的单调性;

（3）当时,曲线上总存在相异两点,,使得曲线在点处的切线互相平行,求的取值范围.

Answer 1

（1）；

（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，

当时，在单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增；

（3）.

【解析】

试题分析：（1）求函数的极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程，求出函数定义域内的所有根；（4）列表检验在的根左右两侧的符号，如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；（2）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；（3）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）恒成立，（2）恒成立.

试题解析：（1）当时，，，

由得或，由得，因此函数在区间和单调递减，在区间上单调递增，故的极大值为

当时，在上单调递减，在上单调递增

当时，在单调递减

当时，在上单调递减，在上单调递增

（3）由题意,可得（）

既

对恒成立

另则在上单调递增，

故，从而的取值范围是.

考点：1、利用导数求函数极值；2、利用导数求函数的单调性；3、恒成立的问题.

考点分析： 考点1：导数及其应用 试题属性

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