Question

如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．

 

Answer 1

解：（方法一）

如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．

因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．

设点P(x₀，y₀)．

因为点P到AM的距离为3，故y₀＝3．

由P到直线AN的距离为，

得＝，解得x₀＝1或x₀＝－4(舍去)，

所以点P(1，3)．                             

显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．

令y＝0得x_B＝1－．                         

由解得y_C＝．             

设△ABC的面积为S，则S＝×x_B×y_C＝＝－1＋．   

由S¢＝＝0得k＝－或k＝3．

当－2＜k＜－时，S¢＜0，S单调递减；当－＜k＜0时，S¢＞0，S单调递增

所以当k＝－时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15． 

答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km²．

（方法二）

如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．

因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．

设点P(x₀，y₀)．

因为点P到AM的距离为3，故y₀＝3．

由P到直线AN的距离为，

得＝，解得x₀＝1或x₀＝－4(舍去)，

所以点P(1，3)．                               

显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．

令y＝0得x_B＝1－．                       

由解得y_C＝．              

设△ABC的面积为S，则S＝×x_B×y_C＝＝－1＋．    

令8k－9＝t，则t∈(－25，－9)，从而k＝．

因此S＝－1＋＝－1＋＝－1＋．

因为当t∈(－25，－9)时，t＋∈(－34，－30]，

当且仅当t＝－15时，此时AB＝5，34＋t＋的最大值为4．从而S有最小值为15．

答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km²

（方法三）

如图2，过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接PA．设AB＝x，AC＝y．

因为P到AM，AN的距离分别为3，，

    即PE＝3，PF＝．

由S_△ABC＝S_△ABP＋S_△APC

＝×x×3＋×y× ＝(3x＋y)．  ① …… 4分

因为tana＝－2，所以sina＝． 

所以S_△ABC＝×x×y× ．  ②            

由①②可得×x×y× ＝(3x＋y)．

即3x＋5y＝2xy． ③                   

因为3x＋5y≥2，所以 2xy≥2．

解得xy≥15．                       

当且仅当3x＝5y取“＝”，结合③解得x＝5，y＝3．

所以S_△ABC＝×x×y× 有最小值15．

答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km²．