Question

已知数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₃=9
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求使+…+成立的最小正整数n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等差数列的性质可知，=（a_n-1-1）•（a_n+1-1）（n≥2），再由a₁=3，a₃=9即可求得a₂，a₄归纳可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知，a_n=2ⁿ+1，从而知数列{}为首项与公比均为的等比数列，从而可求其前n项和，依题意，解不等式即可．
解答：解：（1）∵数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=3=2¹，a₃=9=2³+1，
∴a_n＞1，=（a₁-1）•（a₃-1）=2×8=16，
∴a₂=5=2²+1；
同理可求a₄=17=2⁴+1，
a₅=33=2⁵+1，
…
∴a_n=2ⁿ+1；
（2）∵a_n=2ⁿ+1，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ，故=，
∴=，又=，
∴数列{}为首项与公比均为的等比数列，
∴++…+=++…+==1-＞，
∴n≥11（n∈N^*）．
∴正整数n_min=11．
点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的求和，考查归纳推理的应用与等比关系的确定，属于中档题．