Question

已知定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3），其中a为常数．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若函数f（x）在区间（-1，0）上是增函数，求a的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由x=1是函数f（x）的一个极值点则知f'（1）=0，代入导函数即可；
（2）要求函数f（x）在区间（-1，0）上是增函数，则要求导函数f'（x）在区间（-1，0）大于等于零即可，另外要注意对a的讨论；
（3）要求函数g（x）=f（x）+f'（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，即求函数g（x）的极值并将之与函数端点值
g（0），g（2）进行比较大小，得出在函数g（x）[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2），再根据条件在x=0处取得最大值，得到g（0）≥g（2）即可

解答：解：（1）∵f（x）=ax³-3x²
∴f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
∵x=1是f（x）的一个极值点，
∴f'（1）=0，
∴a=2
（2）①当a=0时，f（x）=-3x²在区间（-1，0）上是增函数，∴a=0符合题意；
②当a≠0时，f'（x）=3ax(x-

2

a

)，令f'（x）=0得：x₁=0，x₂=

2

a

当a＞0时，对任意x∈（-1，0），f'（x）＞0，
∴a＞0 （符合题意）
当a＜0时，当x∈(

2

a

，0)时，f'（x）＞0，
∴

2

a

≤-1，∴-2≤a＜0（符合题意）
综上所述，a≥-2．
（3）g（x）=ax³+（3a-3）x²-6x，
a＞0时，g（x）=ax³+（3a-3）x²-6x，x∈[0，2]．
g'（x）=3ax²+2（3a-3）x-6=3[ax²+2（a-1）x-2]，
令g'（x）=0，即ax²+2（a-1）x-2=0（*），显然有△=4a²+4＞0．
设方程（*）的两个根为x₁，x₂，由（*）式得x1x2=-

2

a

＜0，不妨设x₁＜0＜x₂．
当0＜x₂＜2时，g（x₂）为极小值
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）
当x₂≥2时，由于g（x）在[0，2]上是单调递减函数
所以最大值为g（0），所以在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）
又已知g（x）在x=0处取得最大值
所以g（0）≥g（2）
即0≥20a-24，解得a≤

6

5

，又因为a＞0，所以a∈(0，

6

5

]．
故答案为：（1）a=2；（2）a≥-2；（3）a∈(0，

6

5

]

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，关键在于比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 的大小，从而得到函数的最值，另外还有分类讨论的思想，属于基础题．