已知椭圆的右焦点为,设左顶点为A,上顶点为B且,如图.
(1)求椭圆的方程;
(2)若,过的直线交椭圆于两点,试确定的取值范围.
(1)椭圆的方程为;(2)的取值范围为.
解析试题分析:(1)首先写出,,,由及向量数量积的坐标运算,可得方程,又由椭圆中关系得,解这个方程组得的值,从而得椭圆的标准方程;(2)先考虑直线斜率不存在的情况,,此时,,=;若直线斜率存在,设,代入椭圆方程消去得关于的一元二次方程,利用韦达定理,把表示成斜率的函数,求此函数的值域,即得的取值范围.
试题解析:(1)由已知,,,,则由得:.
∵,∴,解得,∴,∴椭圆. 4分
(2)①若直线斜率不存在,则,此时,,=;
②若直线斜率存在,设,,则由消去得:,∴,,∴
=.∵,∴,∴,∴.
综上,的取值范围为. 13分
考点:1.椭圆的标准非常及其几何性质;2.直线和椭圆的位置关系;3.利用向量的数量积运算解决椭圆中的取值范围问题.
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已知双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),离心率e=,顶点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)如图,P是双曲线C上一点,A、B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限.若=λ,λ∈.求△AOB的面积的取值范围.
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直线l与椭圆+=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,已知m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),若m⊥n且椭圆的离心离e=,又椭圆经过点(,1),O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程.
(2)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
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已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,a2与b2的等差中项为.
(1)求椭圆E的方程.
(2)A,B是椭圆E上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(t,0),求实数t的取值范围.
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已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)已知点Q(,0),动直线l过点F,且直线l与椭圆C交于A,B两点,证明:·为定值.
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在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,A(-2,0),B(2,0),点P为动点,且直线AP与直线BP的斜率之积为-.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点D(1,0)的直线l交轨迹C于不同的两点M,N,△MON的面积是否存在最大值?若存在,求出△MON的面积的最大值及相应的直线方程;若不存在,请说明理由.
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已知顶点为原点的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合与在第一和第四象限的交点分别为.
(1)若△AOB是边长为的正三角形,求抛物线的方程;
(2)若,求椭圆的离心率;
(3)点为椭圆上的任一点,若直线、分别与轴交于点和,证明:.
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已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的一点,=λ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
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