Question

（本小题满分12分）

           如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，2AB=2BC=CC₁=2，D是棱CC₁的中点。

   （Ⅰ）求证平面ABD；

   （Ⅱ）平面AB₁D与侧面BB₁C₁C所成锐角的大小。

Answer 1

解析 方法一：

   （Ⅰ）在

      

       在

       即

       又在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

       平面BB₁C₁C，而B₁D平面BB₁C₁C，

      

       平面ABD；

   （Ⅱ）由（Ⅰ）知BD，平面平面BB₁C₁C=B₁D

       就是平面AB₁D与侧面BB₁C₁C的成角的平面角

       在

      

       即平面AB1D与侧面BB1C1C所成锐角的大小为……12分

       方法二：

       如图所示建立空间直角坐标系

       则A（0，1，0），B（0，0，0）C（1，0，0），

       D（1，0，1），B₁（0，0，2），C₁（1，0，2）

       于是，

      

   （Ⅰ）

        

      

      

   （Ⅱ）设平面AB₁D的法向量为则由

       得

       令易知平面BB₁C₁C的法和量为

       设平面AB₁D与平面BB₁C₁C所成角的大小为θ

       则

       即平面AB₁D与侧面BB₁C₁C所成锐角的大小为……12分