Question

过定点A（1，0）的动圆M与定圆B：（x+1）²+y²=8内切（圆心为B）．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设点N（0，1），是否存在直线l交M的轨迹于P，Q两点，使得△NPQ的垂心恰为点A．若存在，求出该直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设M（x，y），由题意得|MB|=，即＞|AB|=2，由椭圆的定义可得：点M的轨迹是椭圆，求出即可；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由A是垂心，可得，设直线l的方程为y=x+m，联立．消去y整理得3x²+4mx+2（m²-1）=0，得到根与系数的关系．又AP⊥NQ?，可得（x₁-1，x₁+m）•（x₂，x₂+m-1）=0，整理为2x₁x₂+（m-1）（x₁+x₂）+m（m-1）=0，代入即可解出m．
解答：解：（1）设M（x，y），由题意得|MB|=，即＞|AB|=2，
由椭圆的定义可得：点M的轨迹是以A（1，0），B（-1，0）为焦点的椭圆，
且，2c=2，解得，c=1，b²=a²-c²=1．
故动圆圆心M的轨迹方程为．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵A是垂心，∴，
设直线l的方程为y=x+m，联立．
消去y整理得3x²+4mx+2（m²-1）=0，
∴，，又AP⊥NQ，
∴，∴（x₁-1，x₁+m）•（x₂，x₂+m-1）=0，整理为2x₁x₂+（m-1）（x₁+x₂）+m（m-1）=0，
∴，解之得m=1（舍去）或．
经检验m=-符合题意，故存在符合题意的直线l：．
点评：本题考查了椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量垂直与数量积得关系等基本知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力与计算能力．．