Question

19．在三棱锥A-BCD中，底面BCD是正三角形，AC=BD=2，AB=AD=$\sqrt{2}$，O为BC的中点．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知得AO⊥BD，AO⊥CO，由此能证明AO⊥平面BCD．
（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-DC-B的余弦值．

解答 解：（1）证明：∵在三棱锥A-BCD中，
底面BCD是正三角形，O为BD的中点，
∴AO⊥BD，
连结CO，∵AC=BD=2，AB=AD=$\sqrt{2}$，
∴AO=$\sqrt{2-1}$=1，CO=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∴AO²+CO²=AC²，∴AO⊥CO，
又BD∩CO=O，∴AO⊥平面BCD．
（2）解：以O为原点，OB为x轴，
OC为y轴，OA为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（0，0，1），D（-1，0，0），
C（0，$\sqrt{3}$，0），B（1，0，0），
$\overrightarrow{AD}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{AC}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），
设平面ADC的法向量 $\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得 $\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-1），
平面BDC的法向量 $\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{-1}{\sqrt{1+1+\frac{1}{3}}}$=-$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∵二面角A-DC-B是锐二面角，
∴二面角A-DC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用，属于中档题．