Question

9．已知P为抛物线y²=-6x上一个动点，Q为圆${x^2}+{（y-6）^2}=\frac{1}{4}$上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到y轴距离之和的最小值是（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{17}-7}}{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{17}-4}}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{17}-1}}{2}$
• D． $\frac{{3\sqrt{17}+1}}{2}$

Answer 1

分析 先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的y轴距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径减去y轴与准线的距离．

解答 解：由于P为抛物线y²=-6x上一个动点，Q为圆${x^2}+{（y-6）^2}=\frac{1}{4}$上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到y轴距离之和的最小值，可结合抛物线的定义，P到y轴距离为P到焦点距离减去$\frac{3}{2}$，
则最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径和$\frac{3}{2}$，
即为$\frac{3\sqrt{17}-4}{2}$，
故选B．

点评 本题主要考查了抛物线的定义的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．