Question

20．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$．
（1）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，求|3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|；
（2）若$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的大小．

Answer 1

分析 （1）直接由向量模的平方等于向量的平方，展开后代入数量积公式得答案；
（2）设出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角，由$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）得其数量积为0，然后求得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角可求．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
∴|3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}=\sqrt{9{\overrightarrow{a}}^{2}-6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$
=$\sqrt{9|\overrightarrow{a}{|}^{2}-6|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|cos60°+|\overrightarrow{b}{|}^{2}}$
=$\sqrt{9×{1}^{2}-6×1×\sqrt{2}×\frac{1}{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$
=$\sqrt{11-3\sqrt{2}}$；
（2）设a、b的夹角为θ，
∵$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$（\overrightarrow{a}）^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}-|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|cosθ=0$，
∴$cosθ=\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0≤θ≤π，∴$θ=\frac{π}{4}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，关键是对公式$（\overrightarrow{a}）^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}$的运用，是中档题．