Question

12．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的右顶点A（a，0），拋物线x²=2py（p＞0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出${a}^{2}+\frac{{p}^{2}}{4}={c}^{2}$①及$\frac{a}{b}$$\sqrt{4{b}^{2}+{p}^{2}}$=2c②，求出a=b，即可得双曲线的离心率．

解答 解：∵右顶点为A，∴A（a，0），
∵F为抛物线x²=2py（p＞0）的焦点，
∴F（0，$\frac{p}{2}$），
∵|FA|=c，
∴${a}^{2}+\frac{{p}^{2}}{4}={c}^{2}$①
抛物线的准线方程为y=-$\frac{p}{2}$，代入双曲线的方程得x=±$\frac{a}{2b}$$\sqrt{4{b}^{2}+{p}^{2}}$，
∴$\frac{a}{b}$$\sqrt{4{b}^{2}+{p}^{2}}$=2c②，
由①②，得$\frac{a}{b}$$\sqrt{4{b}^{2}+4{c}^{2}-4{a}^{2}}$=2c，即c²=2a²，
∵c²=a²+b²，
∴a=b，
∴双曲线的离心率为$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．