Question

设f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（Ⅰ）求g（x）在区间[0，2]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求证：当a≥1时，对?s、t∈（0，2]，都有f（s）≥g（t）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得g′(x)=3x(x-

2

3

)，由g′(x)=3x(x-

2

3

)=0，得x=0或x=

2

3

，由此列表讨论，能求出g（x）在区间[0，2]上的最大值、最小值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只须证明当a≥1时，对?x∈（0，2]，f（x）≥1，由此利用构造法和导数性质能证明当a≥1时，对?x∈（0，2]，f（x）≥1．

解答： （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵g（x）=x³-x²-3，∴g′(x)=3x(x-

2

3

)…（2分）
由g′(x)=3x(x-

2

3

)=0，得x=0或x=

2

3

，
列表讨论，得：

x	0	（0， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，2）	2
g′（x）		-	0	+
g（x）	-3	↘	极 小值- 85 27	↗	1

由上表可知：g（x）在区间[0，2]上的最大值为1，最小值为-

85

27

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只须证明：
当a≥1时，对?x∈（0，2]，f（x）≥1．…（8分）
又f（x）=

a

x

+xlnx≥

1

x

+xlnx，…（10分）
令h（x）=

1

x

+xlnx，h′(x)=

x2-1

x2

+lnx，…（12分）

x	（0，1）	1	（1，2）
h′（x）	-	0	+
h（x）	↘	极 小值1	↗

由上表可知：h（x）_min=h（1）=1，
∴当a≥1时，对?x∈（0，2]，f（x）≥1．…（14分）

点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，函数恒成立时条件的应用能力．