Question

已知函数f（x）=

ax+b

x

e^x（a＞0），g（x）=[a（x-1）]e^x-f（x）．
（1）当a=1时?x∈（0，+∞）都有g（x）≥1成立，求b的最大值；  
（2）当?x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，求

b

a

的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）利用分离变量法，由已知变量的取值范围求出参数的取值范围，通过构造新的函数，等价转化；
（2）存在x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，等价于存在x＞1，2ax³-3ax²-2bx+b=0成立，设u（x）=

2x3-3x2

2x-1

（x＞1），求出u（x）的最小值即可．

解答： 解：（1）当a=1时，g（x）=（x-

b

x

-2）e^x，
∵g（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立，
∴b≤x²-2x-

x

ex

在x∈（0，+∞）上恒成立．
记h（x）=x²-2x-

x

ex

，（x＞0），则h′（x）=

(x-1)(2ex+1)

ex

，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上是减函数；
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数；
∴h（x）_min=h（1）=-1-e^-1，
∴b的最大值为-1-e^-1．
②∵g（x）=（ax-

b

x

-2a）e^x，
∴g′（x）=（

b

x2

+ax-

b

x

-a）e^x，
∴由g（x）+g′（x）=0，整理得2ax³-3ax²-2bx+b=0．
存在x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，
等价于存在x＞1，2ax³-3ax²-2bx+b=0成立，
∵a＞0，∴

b

a

=

2x3-3x2

2x-1

，
设u（x）=

2x3-3x2

2x-1

（x＞1），则u′（x）=

8x[(x- 3 4 )2+ 3 16 ]

(2x-1)2

，
∵x＞1，∴u′（x）＞0恒成立，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴u（x）＞u（1）=-1，
∴

b

a

＞-1，即

b

a

的取值范围为（-1，+∞）．

点评：本题考查了利用导数的性质，求函数的极值，构造函数，利用化归，等价转化思想，解决恒成立问题和存在性的问题，这是常考的题型，也是高考的热点．平时要多多留意．