Question

【题目】如图，已知圆柱内有一个三棱锥，为圆柱的一条母线，，为下底面圆的直径，．

（Ⅰ）在圆柱的上底面圆内是否存在一点，使得平面？证明你的结论．

（Ⅱ）设点为棱的中点，，求四棱锥体积的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）存在，为上底面圆的圆心，证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）画出图形，取上底面圆的圆心为，连接，，，，先证，再证平面即可；

（Ⅱ），然后利用不等式求出最值即可.

（Ⅰ）当点为上底面圆的圆心时，平面．

如图，取上底面圆的圆心为，连接，，，，

则，．

所以四边形为平行四边形，

所以，所以．

又，所以四边形为平行四边形，

所以．

因为平面，平面，

所以平面．

故点为上底面圆的圆心时，平面；

（Ⅱ）在底面圆中，由得．

，

当且仅当时等号成立，所以四棱锥体积的最大值为．