Question

【题目】如图，三棱柱中，底面，点是棱的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，，在棱上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）存在，.

【解析】

（Ⅰ）连接，与相交于点，根据O，是中点，由三角形中位线得到，再由线面平行的判定定理证明.

（Ⅱ）由，又因为底面，建立空间直角坐标系：设，即，分别求得平面和平面的一个法向量，根据二面角的大小为，代入求解.

（Ⅰ）如图所示：

连接，与相交于点，连接，

因为点是棱的中点，

所以 ，且平面，平面，

所以平面；

（Ⅱ）因为，，

所以，又因为底面，

建立如图所示空间直角坐标系：

设，即，

则，

，

设平面的一个法向量为，

则，所以，

取，则，

设平面的一个法向量为，

则，所以，

取，则，

因为二面角的大小为，

所以，

即，

解得或(舍去)，

所以存在点，有，使二面角的大小为.