Question

【题目】已知函数，.

(Ⅰ)当时，求函数在区间上的最值；

(Ⅱ)若，是函数的两个极值点，且，求证：.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 最小值为，最大值为； (Ⅱ)证明见解析。

【解析】

（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，运用导函数判断函数的单调性，求解函数的最值即可．

（Ⅱ）x1，x2是函数的两个极值点，所以（x1）＝（x2）＝0．令通过及构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，推出,所以，即可证明结论．

(Ⅰ)当时，，函数的定义域为，

所以，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

所以函数在区间上的最小值为，

又，

显然

所以函数在区间上的最小值为，最大值为.

(Ⅱ)因为

所以，因为函数有两个不同的极值点，

所以有两个不同的零点.

因此，即 有两个不同的实数根,

设，则,

当时，，函数单调递增；

当，，函数单调递减；

所以函数的最大值为 。

所以当直线与函数图像有两个不同的交点时，，且

要证，只要证，

易知函数在上单调递增，

所以只需证,而，所以

即证，

记，则恒成立，

所以函数在上单调递减，所以当时

所以，因此.