Question

【题目】为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地（如图）租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜.已知扇形AOB中，，百米），荒地内规划修建两条直路AB，OC，其中点C在弧AB上（C与A，B不重合），在小路AB与OC的交点D处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区.设，蜂巢区的面积为S（平方百米）.

（1）求S关于的函数关系式；

（2）当为何值时，蜂巢区的面积S最小，并求此时S的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当θ为时,蜂巢区的面积S最小,S的最小值为+3.

【解析】

(1)AO=,,由余弦定理得AB=6,由正弦定理得，从而可得，由蜂巢区的面积：S=S△AOD+S扇形COBS△BDO可得S关于θ的函数关系式.

(2)对求导,利用导数可得S的最小值只在θ=时取得，此时S=+3，即为蜂巢区的面积的最小值.

(1)AO=,,

由余弦定理得,

在△BDO中, ，

由正弦定理得,

∴，

∴，

∴蜂巢区的面积：

S=S△AOD+S扇形COBS△BDO

，

整理，得S关于θ的函数关系式为：

.

(2)对求导,得，

令S′=0,又，解得θ=，

当θ∈时,S′<0，S递减，

当θ∈时,S′>0，S递增，

综上所述,S的最小值只可在θ=时取得，

当θ=时,S=+3，

∴当θ为时,蜂巢区的面积S最小,S的最小值为+3.