Question

【题目】如图，四棱锥的底面是直角梯形，和是两个边长为2的正三角形，．

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）设是的中点，连接，由等腰三角形的性质可得，利用勾股定理可得，由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得结果；（2）过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量,由空间向量夹角的余弦公式可得结果.

（1）∵△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，

∴PB=PD=2，又BO=OD，∴PO⊥BD．

∵AB⊥AD，

∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD==2．∴OB=．

在Rt△POB中，由勾股定理可得，PO==，

在Rt△ABD中，AO==．在△PAO中，PO2+OA2=4=PA2，

由勾股定理的逆定理得PO⊥AO．

又∵BD∩AO=O，∴PO⊥平面ABCD∵PO平面PBD，∴平面PBD⊥平面ABCD．

（2）由（1）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，

∴过O分别做AD，AB的平行线，

以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：

由已知得：A（﹣1，﹣1，0），B（﹣1，1，0），D（1，﹣1，0），C（1，3，0，P（0，0，）

则，．

设平面PDC的法向量为，直线CB与平面PDC所成角θ，

则，即，解得，

令z1=1，则平面PDC的一个法向量为，

又，

则，

∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为．