Question

【题目】已知函数 ．

（1）求函数 的最大值；

（2）设 ，且 ，证明： ．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）见解析

【解析】

（1）由题意，求得函数的导数，利用导数得到函数的单调性，即可求解最大值。

（2）由（1），把当－1＜x＜0时，g(x)＜1等价于设f(x)＞x，构造新函数h(x)＝f(x)－x，利用导数得到函数的单调性和极值，即可求解。

（1）由题意，求得．

当x∈(－∞，0)时，＞0，f(x)单调递增；

当x∈(0，＋∞)时，＜0，f(x)单调递减．

所以f(x)的最大值为f(0)＝0．

（2）由（1）知，当x＞0时，f(x)＜0，g(x)＜0＜1．

当－1＜x＜0时，g(x)＜1等价于设f(x)＞x．

设h(x)＝f(x)－x，则．

当x∈(－1，－0)时，0＜－x＜1，0＜＜1，则0＜＜1，

从而当x∈(－1，0)时，＜0，h(x)在(－1，0)单调递减．

当－1＜x＜0时，h(x)＞h(0)＝0，即g(x)＜1．综上，总有g(x)＜1．