Question

【题目】已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，且，抛物线的准线与轴交于，于点，且四边形的面积为，过的直线交抛物线于两点，且，点为线段的垂直平分线与轴的交点，则点的横坐标的取值范围为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

先根据抛物线的性质和四边形AA1CF的面积为，求出p的值，再设M，N的坐标，运用向量的坐标运算，设直线l：x=my﹣1，并代入到y2=4x中，运用韦达定理，可得m和λ，运用对勾函数的单调性，可得4m2的范围，求出MN的垂直平分线方程，令y=0，结合不等式的性质，即可得到所求范围．

过B作BB1⊥l于B1，设直线AB与l交点为D，

由抛物线的性质可知AA1=AF，BB1=BF，CF=p，

设BD=m，BF=n，则===，

即=，

∴m=2n．

又=，∴==，∴n=，

∴DF=m+n=2p，∴∠ADA1=30°，

又AA1=3n=2p，CF=p，∴A1D=2p，CD=p，

∴A1C=p，

∴直角梯形AA1CF的面积为（2p+p）p=6，

解得p=2，

∴y2=4x，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

∵=λ，

∴y1=λy2，

设直线l：x=my﹣1代入到y2=4x中得y2﹣4my+4=0，

∴y1+y2=4m，y1y2=4，

∴x1+x2=m（y1+y2）﹣2=4m﹣2，

由①②可得4m2==λ++2，

由1＜λ≤2可得y=λ++2递增，即有4m2∈（4，]，即m2∈（1，]，

又MN中点（2m2﹣1，2m），

∴直线MN的垂直平分线的方程为y﹣2m=﹣m（x﹣2m2+1），

令y=0，可得x0=2m2+1∈（3，]，

故选：A．