Question

【题目】在直角坐标系中，点，曲线（为参数），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：．

（Ⅰ）若，求与公共点的直角坐标；

（Ⅱ）若与相交于不同的两点，是线段的中点，当时，求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).

【解析】分析：（Ⅰ）若，曲线方程变为 ，消去参数可得曲线的普通方程为。曲线：．变为 ，化简可得，变形为，可得曲线的直角坐标方程为，联立直角坐标方程可得，解方程组可得与公共点的直角坐标。（Ⅱ）因为曲线（为参数），经过点，已知，所以求应根据参数的几何意义。故将曲线（为参数），的方程代入曲线的直角坐标方程得，由根与系数的关系可得。因为与相交于不同的两点，所以由可得，。

因为是线段的中点，所以，

整理可得，进而解得．

详解：（1）若，曲线的普通方程为，

曲线的直角坐标方程为，

由解得

所以与公共点的直角坐标为；

（2）将代入得：

设A、B两点对应参数分别为。

由得，，

由，得

得．