Question

如图，过点D（-2，0）作圆O：x²+y²=r²（0＜r＜

3

）的切线交椭圆C：

x2

6

+

y2

3

=1于A，点A与E（-3，0）的连线段EA与椭圆C相交于另一点B．
（Ⅰ）若△OAD的面积为1，求r的值；
（Ⅱ）求证：直线BD与圆O相切．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合

专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由△OAD的面积为1，运用面积公式，得到y_A=1，求得A的坐标，得到AD的方程，由直线和圆相切的条件，即可得到半径r；
（Ⅱ）设直线AE：y=k（x+3），联立椭圆方程C：

x2

6

+

y2

3

=1，消去y，得到关于x的二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁=k（x₁+3），y₂=k（x₂+3），运用韦达定理，设A关于x轴的对称点为A'（x₁，-y₁），由斜率公式，求出直线BD，A'D的斜率，作差注意化简变形，证明它们相等即可．

解答： （Ⅰ）解：∵△OAD的面积为1，设y_A＞0，
∴

1

2

×2•y_A=1，即y_A=1，A（2，1），
∴直线AD：y=

1

4

（x+2），
∴由直线AD与圆相切，得到
d=r=

|2|

17

=

2 17

17

．
（Ⅱ）证明：设直线AE：y=k（x+3），联立椭圆方程C：

x2

6

+

y2

3

=1，消去y，
得（1+2k²）x²+12k²x+（18k²-6）=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁=k（x₁+3），y₂=k（x₂+3），
则x₁+x₂=-

12k2

1+2k2

，x₁x₂=

18k2-6

1+2k2

，
设A关于x轴的对称点为A'（x₁，-y₁），
则k_BD=

y2

x2+2

，k_A'D=

-y1

x1+2

，
则k_BD-k_A'D=

y2

x2+2

-

-y1

x1+2

=

k(x2+3)

x2+1

+

k(x1+3)

x1+2

=k（2+

1

x1+2

+

1

x2+2

）
=k（2+

x1+x2+4

x1x2+4+2x1+2x2

）=k（2+

-12k2+4+8k2

4+8k2+18k2-6-24k2

）=k（2-2）=0．
∴k_BD=k_A'D，即B，D，A'共线，
故由AD和圆相切，得直线BD和圆也相切．

点评：本题考查直线与圆的位置关系：相切，以及直线的斜率和方程有关知识，考查直线方程和椭圆方程联立，消去一个未知数，运用韦达定理，考查化简推理和运算能力，属于中档题．