Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点Q（4，m）到其焦点的距离为5
（1）求p与m的值；；
（2）斜率为1的直线不过点P（2，2），且与抛物线交于点A，B，直线AP，BP分别交抛物线于点C，D，求证：直线AD，BC交于一个定点．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的定义，结合Q（4，m）到其焦点的距离为5，可求p与m的值；；
（2）先求直线的斜率，求得直线方程，即可求得直线AD，BC交点．

解答：（1）解：由抛物线方程得其准线方程：x=-

p

2

，
根据抛物线定义点Q（4，m）到焦点的距离等于它到准线的距离，即4+

p

2

=5，解得p=2
所以抛物线方程为：y²=4x，将Q（4，m）代入抛物线方程，解得m=±4．…（6分）
（2）证明：设点A，B，C，D的坐标分别为(

y 2 1

4

， y1)，(

y 2 2

4

， y2)，(

y 2 3

4

， y3)，(

y 2 4

4

， y4)，
则直线AB的斜率KAB=

y1-y2

y 2 1 4 - y 2 2 4

=

4

y1+y2

，于是得y₁+y₂=4．
同理知直线AC，BD，AD，BC的斜率分别为

4

y1+y3

，

4

y2+y4

，

4

y1+y4

，

4

y2+y3

，
由A，P，C三点共线得

4

y1+y3

=

y1-2

y 2 1 4 -2

，即y₁y₃-2（y₁+y₃）+8=0，
以4-y₂代y₁得y₂y₃-2（y₂+y₃）=0，①
同理由B，D，P共线得y₁y₄-2（y₁+y₄）=0②
设AD，BC交点为M（m，n），
由A，D，M共线知

4

y1+y4

=

y1-n

y 2 1 4 -m

，即y₁y₄-n（y₁+y₄）+4m=0③
同理由B，C，M共线得y₂y₃-n（y₂+y₃）+4m=0④
将①②代入③④得（2-n）（y₁+y₄）+4m=0，（2-n）（y₂+y₃）+4m=0
∵y₁+y₄≠y₂+y₃，∴m=0，n=2
即直线AD，BC交于一个定点M（0，2）…（15分）

点评：本题考查抛物线的定义，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．