Question

5．如图，已知圆上是弧AC=弧BD，过点C的圆的切线CE与BA的延长线交于点E．
（1）求证：∠ACE=∠BCD；
（2）求证：BD²=AE•CD．

Answer 1

分析 （1）先根据题中条件弧AC=弧BD得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．
（2）欲证BD²=AE×CD．即证$\frac{BD}{AE}=\frac{DC}{AC}$，．故只须证明△BDC～△EAC即可．

解答 解：（1）因为弧AC=弧BD，
所以∠BCD=∠ABC．
又因为EC与圆相切于点C，
故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD．（5分）
（Ⅱ）因为∠CAE=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC～△EAC，
故$\frac{BD}{AE}=\frac{DC}{AC}$．
因为BD=AC
所以BD²=AE×CD．（10分）

点评 本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于中档题．