Question

3．两个人射击，甲射击一次中靶概率是$\frac{1}{2}$，乙射击一次中靶概率是$\frac{1}{3}$，
（Ⅰ）两人各射击1次，两人总共中靶至少1次就算完成目标，则完成目标概率是多少？
（Ⅱ）两人各射击2次，两人总共中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
（Ⅲ）两人各射击5次，两人总共中靶至少1次的概率是否超过99%？

Answer 1

分析 由条件利用相互独立事件的概率乘法公式，n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，求得所求事件的概率．

解答 （Ⅰ）共三种情况：乙中靶甲不中靶的概率为$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$； 甲中靶乙不中靶的概率为$\frac{1}{2}•\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$；
甲乙全中靶的概率为$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，∴完成目标概率是$\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}$．
（Ⅱ）分两类情况：
甲乙二人共击中3次，即甲中2次、乙中1次，或甲中1次、乙中2次，
故它的概率为 ${C}_{2}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$•[${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$]+${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•[${C}_{2}^{2}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$]=$\frac{1}{6}$；
甲乙二人共击中4次${C}_{2}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$•${C}_{2}^{2}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{1}{36}$，
∴完成目标的概率是$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{36}$=$\frac{7}{36}$．
（III）甲乙二人全部没有击中的概率为${（\frac{1}{2}）}^{5}$•${（\frac{2}{3}）}^{5}$=$\frac{1}{243}$，
∴两人总共中靶至少1次的概率是1-$\frac{1}{243}$=$\frac{242}{243}$＞99%．

点评 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．