Question

18．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线斜率是1，离心率是e，则$\frac{{{a^2}+{e^2}}}{b}$的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据双曲线的渐近线的斜率求出a=b，e，然后利用基本不等式进行求解即可．

解答 解：双曲线的一条渐近线斜率是1，即$\frac{b}{a}$=1，即b=a，则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{2}$a，
即e=$\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，
则$\frac{{{a^2}+{e^2}}}{b}$=$\frac{{a}^{2}+2}{a}$=a+$\frac{2}{a}$$≥2\sqrt{a•\frac{2}{a}}$=$2\sqrt{2}$，
当且仅当a=$\frac{2}{a}$，即a=$\sqrt{2}$时，取等号，
即$\frac{{{a^2}+{e^2}}}{b}$的最小值是$\sqrt{2}$，
故选：B

点评 本题主要考查双曲线的性质的应用，根据条件求出a=b，e的值，结合基本不等式是解决本题的关键．