Question

9．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别作垂直于x轴的直线与双曲线有四个交点，且这四个交点恰好为正方形的四个顶点，则双曲线的离心率为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 求出四个交点的坐标，利用四个交点恰好为正方形的四个顶点，得到边长相等，求出a，c的关系即可得到结论．

解答 解：双曲线的两个焦点（-c，0），和（c，0），
令x=-c，则$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
则有y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
令x=c，则$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
则有y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
设A（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（-c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），C（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），D（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
则AB=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，BC=2c，
∵这四个交点恰好为正方形的四个顶点，
∴AB=BC，
即$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2c，
则b²=ac，
即c²-a²=ac，
∴c²-ac-a²=0
∴e²-e-1=0，
得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或e=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
∵e＞1，∴e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件建立方程关系求出交点坐标是解决本题的关键．