Question

6．已知抛物线：y²=2px（p＞0）的焦点F在双曲线：$\frac{x^2}{3}$-$\frac{y^2}{6}$=1的右准线上，抛物线与直线l：y=k（x-2）（k＞0）交于A，B两点，AF，BF的延长线与抛物线交于C，D两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若△AFB的面积等于3，
①求k的值；
②求直线CD的斜率．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线和双曲线的关系进行求解即可．
（2）根据直线与抛物线的位置关系，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系进行求解．

解答 解：（1）双曲线：$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$的右准线方程为：x=1
所以F（1，0），则抛物线的方程为：y²=4x…（4分）
（2）设$A（\frac{y_1^2}{4}，{y_1}），B（\frac{y_2^2}{4}，{y_2}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x-2）\end{array}\right.$得ky²-4y-8k=0△=16+32k²＞0，
${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}，{y_1}{y_2}=-8$
①${S_{△AFB}}=\frac{1}{2}×1×|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$=$2\sqrt{\frac{1}{k^2}+2}=3$
解得k=2…（8分）
②y₁+y₂=2，y₁y₂=-8
设$C（\frac{y_3^2}{4}，{y_3}）$，则$\overrightarrow{FA}=（\frac{y_1^2}{4}-1，{y_1}），\overrightarrow{FC}=（\frac{y_3^2}{4}-1，{y_3}）$
因为A，F，C共线，所以$（\frac{y_1^2}{4}-1）{y_3}-{y_1}（\frac{y_3^2}{4}-1）=0$，
即$y_3^2+（\frac{4}{y_1}-{y_1}）{y_3}-4=0$
解得：y₃=y₁（舍）或${y_3}=-\frac{4}{y_1}$
所以$C（\frac{4}{y_1^2}，-\frac{4}{y_1}）$，同理$D（\frac{4}{y_2^2}，-\frac{4}{y_2}）$，
故${k_{CD}}=\frac{{-\frac{4}{y_1}+\frac{4}{y_2}}}{{\frac{4}{y_1^2}-\frac{4}{y_2^2}}}$=$-\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}=4$…（12分）

点评 本题主要考查双曲线和抛物线的性质，利用直线和抛物线的位置关系转化为一元二次方程是解决本题的关键．