Question

8．已知函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b+1$，其中向量$\overrightarrow a=（\sqrt{3}，2sin\frac{ωx}{2}）$，$\overrightarrow b=（sinωx，-sin\frac{ωx}{2}）$，ω＞0，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的最小值，并求出相应的x的取值集合；
（3）将f（x）的图象向左平移φ个单位，所得图象关于点$（\frac{π}{3}，0）$对称，求φ的最小正值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积的坐标运算及辅助角公式可得f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），由正弦函数的周期公式可求得ω的值；
（2）利用正弦函数的性质可求得f（x）的最小值，及相应的x的取值集合；
（3）依题意，可得f（x+φ）=2sin（2x+2φ+$\frac{π}{6}$），再由图象关于点$（\frac{π}{3}，0）$对称，可得$ϕ=\frac{kπ}{2}-\frac{5π}{12}，k∈Z$，从而可求φ的最小正值．

解答 解：（1）由已知得：f（x）=$\sqrt{3}$sinωx-2sin²$\frac{ωx}{2}$+1=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）…（4分）
因为f（x）的最小正周期为π，所以ω=2 …（6分）
（2）因为$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，所以f（x）最小值为-2，此时满足$2x+\frac{π}{6}=-\frac{π}{2}+2kπ$，则$x=-\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$，
因此x的取值集合为$\{\left.x\right|x=-\frac{π}{3}+kπ，k∈Z\}$…（10分）
（3）$f（x+φ）=2sin（2（x+φ）+\frac{π}{6}）=2sin（2x+2φ+\frac{π}{6}）$，
由题意得$2×\frac{π}{3}+2φ+\frac{π}{6}=kπ$，$φ=\frac{kπ}{2}-\frac{5π}{12}，k∈Z$，
所以φ得最小值$\frac{π}{12}$．…（14分）

点评 本题考查三角函数中的恒等变换及其应用，平面向量的数量积的坐标运算及辅助角公式，y考查函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象变换，属于中档题．