Question

12．函数y=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 令$\sqrt{{x}^{2}+2}$=t$≥\sqrt{2}$，可得：y=$t+\frac{1}{t}$=g（t），利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：令$\sqrt{{x}^{2}+2}$=t$≥\sqrt{2}$，
∴y=$t+\frac{1}{t}$=g（t），
g′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$＞0，
∴函数g（t）在$[\sqrt{2}，+∞）$上单调递增，
∴g（t）的最小值为：$\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．