Question

设函数f（x）=

lg|x-2|，x≠2 1，x=2

，若关于x的方程[f（x）]²+bf（x）+c=0恰有3个不同的实数解x₁，x₂，x₃，则f（x₁+x₂+x₃）=

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用,二次函数的性质

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：本题研究由根的个数及函数f（x）=

lg|x-2|，x≠2 1，x=2

的图象特征研究关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3个不同的实数解x₁，x₂，x₃之间的关系，由三根之间的关系确定它们和的值，从而求出f（x₁+x₂+x₃）的值．

解答： 解：由题意f（x）=

lg|x-2|，x≠2 1，x=2

的图象如下，
由图知y=1与函数f（x）=

lg|x-2|，x≠2 1，x=2

有三个交点，
∵关于x的方程f²（x）+b f（x）+c=0恰有3个不同的实数解x₁，x₂，x₃，
∴①若关于f（x）的一元二次方程仅有一个根为f（x）=1，
由图象知，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3个不同的实数解，
由于函数的图象关于x=2对称，故此时有f（x₁+x₂+x₃）=f（6）=lg4=2lg2；
②若关于f（x）的一元二次方程仅有一个根不为f（x）=1，
由图象知，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有2个不同的实数解，不满足题意；
③若关于f（x）的一元二次方程有二个不同的根，
由图象知，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有四个不同的实数解或五个不同的实数解，不满足题意．
由上讨论知，f（x₁+x₂+x₃）=2lg2．
故答案为：2lg2．

点评：本题考查根的存在性与根的个数判断，解题的关键是作出函数f（x）的图象，结合一元二次方程根的情况判断出三个根的关系，本题作出函数的图象，考查了以形助数的思想，以图象作辅助判断的手段是函数中研究问题时常采用的策略，要善于利用作图工具作出标准的图象．