Question

已知函数f（x）=|x-a|+|x-4|（a∈R），不等式f（x）＜3的解集为空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：利用绝对值三角不等式可得f（x）=|x-a|+|x-4|≥|（x-a）+（4-x）|=|4-a|，依题意可得|4-a|≥3，解之即可．

解答： 解：依题意知，f（x）=|x-a|+|x-4|≥3恒成立，
∴3≤f（x）_min；
由绝对值三角不等式得：f（x）=|x-a|+|x-4|≥|（x-a）+（4-x）|=|4-a|，
即f（x）_min=|4-a|，
∴|4-a|≥3，即a-4≤-3或a-4≥3，
解得：a≤1或a≥7．
∴实数a的取值范围是（-∞，1]∪[7，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，求得|4-a|≥3是关键，突出考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．