Question

数列、的每一项都是正数,,,且、、成等差数列,、、成等比数列,.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）求数列、的通项公式；
（Ⅲ）证明:对一切正整数,有.

Answer 1

(Ⅰ)；（Ⅱ），；（Ⅲ）答案详见解析.

试题分析：(Ⅰ)依题意，，，并结合已知，，利用赋值法可求、的值；（Ⅱ）由①，②，且，则，（），代入①中，得关于的递推公式，故可判断数列是等差数列，从而可求出，代入（）中，求出（），再检验时，是否满足，从而求出；（Ⅲ）和式相当于数列的前项和，先确定其通项公式，根据通项公式的不同形式，选择相应的求和方法，先求得，不易求和，故可考虑放缩法，将其转化为容易求和的形式，再证明和小于.
试题解析：(Ⅰ)由，可得，由，可得.
（Ⅱ）因为、、成等差数列，所以…①.因为、、成等比数列，所以，因为数列、的每一项都是正数，所以…②.于是当时，…③.将②、③代入①式，可得，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以，于是.由③式，可得当时，.当时，，满足该式子，所以对一切正整数，都有.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为.
方法一:首先证明（）.
因为
,
所以当时，.
当时，.
综上所述，对一切正整数，有
方法二:.
当时，

.
当时，；当时，.
综上所述，对一切正整数，有
方法三:.当时,
.
当时，；当时，；当时，.
综上所述，对一切正整数，有