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    【题目】如图所示，直三棱柱的底面为等腰直角三角形，其中，点是线段的中点.

    （Ⅰ）若点满足，且，求的值；

    （Ⅱ）求二面角的余弦值.

    【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.

    【解析】

    （I）根据直三棱柱的性质及所给数据，将转化为，则在中直接求解即可；

    （II）建立空间直角坐标系，利用法向量即可求二面角的余弦值.

    （Ⅰ）因为在侧面中，，，点是棱的中点，

    所以，，则.

    因为平面，所以.

    由，得平面，

    所以，又因为，

    ，所以平面，

    所以.

    在中，，，，，

    则，所以，，

    又因为，所以.

    （Ⅱ）

    如图：以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

    则，，，，

    ，，，，

    设平面的一个法向量为，

    则

    ，令，得，

    设平面的一个法向量为，

    则

    令，得，

    设二面角的平面角为，

    则，

    故二面角的余弦值为.

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    （1）已知抽取的名学生中含男生110人，求的值及抽取到的女生人数；

    （2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调杳（假定每名学生在这两个科目中必须洗择一个科目且只能选择一个科目）.下表是根据调查结果得到的列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；

    性别

    选择物理

    选择历史

    总计

    男生

    50

    女生

    30

    总计

    （3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.

    附：，其中.

    0.100

    0.050

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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    （1）已知抽取的名学生中含男生55人，求的值；

    （2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；

    （3）在抽取到的女生中按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为，求的分布列及期望.

    附：，

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