Question

【题目】已知函数f（x）＝ax﹣（a+2）lnx2，其中a∈R．

（1）当a＝4时，求函数f（x）的极值；

（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．

Answer 1

【答案】（1）极大值6ln2，极小值4；（2）分类讨论，详见解析．

【解析】

（1）把a＝4代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；

（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．

（1）当a＝4时，f（x）＝4x﹣6lnx2，，x＞0，

易得f（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，

故当x时，函数取得极大值f（）＝6ln2，当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝4，

（2），

当a≤0时，f（x）在（1，e）上单调递减，f（x）＜f（1）＝a≤0，此时函数在（1，e）上没有零点；

当a≥2时，f（x）在（1，e）上单调递增，f（x）＞f（1）＝a≥2，此时函数在（1，e）上没有零点；

当0即时，f（x）在（1，e）上单调递减，由题意可得，，

解可得，0，

当即时，f（x）在（1，）上单调递减，在（）上单调递增，

由于f（1）＝a＞0，f（e）＝a（e﹣1），

令g（a）＝f（）＝2﹣（a+2）lna+2＝（a+2）lna﹣（1+ln2）a+4﹣2ln2，

令h（a），则0，

所以h（a）在（）上递减，h（a）＞h（2）＝1＞0，即g′（a）＞0，

所以g（a）在（）上递增，g（a）＞g（）＝2，

即f（）＞0，

所以f（x）在（1，e）上没有零点，

综上，当0＜a时，f（x）在（1，e）上有唯一零点，

当a≤0或a时，f（x）在（1，e）上没有零点．