Question

【题目】已知圆C1：（x+2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，过点P（﹣1，5）作两条互相垂直的直线l1：y=k（x+1）+5，l2：y=﹣ （x+1）+5．
（1）若k=2时，设l1与圆C1交于A、B两点，求经过A、B两点面积最小的圆的方程．
（2）若l1与圆C1相交，求证：l2与圆C2相交，且l1被圆C1截得的弦长与l2被圆C2截得的弦长相等．
（3）是否存在点Q，过Q的无数多对斜率之积为1的直线l3 ， l4 ， l3被圆C1截得的弦长与l4被圆C2截得的弦长相等．若存在求Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：当k=2时，l1的方程为y=2x+7

联立方程组 ，整理得5x2+28x+36=0

设A、B为A（x1，y1），B（x2，y2）∴ ， ， ， ，

经过A、B两点面积最小的圆应是以AB为直径的圆，

圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0．

即x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0

所求圆的方程：

（2）解：设圆C1的圆心到l1的距离为d1，圆C2的圆心到l2的距离为d2，则 ，

∴l2与圆C2相交，

∵两圆的半径相等，而两弦心距相等，

∴所截得的弦长相等．

（3）解：设Q（a，b）3的方程为y=m（x﹣a）+b．l4的方程为 ，

依题意圆C1的圆心到l3的距离为 ，

由d3=d4得|1﹣b+m（a+2）|=|a﹣3+m（4﹣b）|

∴1﹣b+m（a+2）=a﹣3+m（4﹣b）①

或1﹣b+m（a+2）=3﹣a+m（b﹣4）②

①②对于无数多个m的值都成立

∴ ③

或 ④

③④都无解∴Q不存在

【解析】（1）经过A、B两点面积最小的圆应是以AB为直径的圆；（2）证明l2与圆C2相交，利用两圆的半径相等，而两弦心距相等，可得所截得的弦长相等；（3）由d3=d4得|1﹣b+m（a+2）|=|a﹣3+m（4﹣b）|∴1﹣b+m（a+2）=a﹣3+m（4﹣b）①或1﹣b+m（a+2）=3﹣a+m（b﹣4）②，①②对于无数多个m的值都成立． ③或 ④，③④都无解，即可得出结论．