Question

【题目】已知直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）当m变化时，求点P（3，1）到直线l的距离的最大值；
（3）若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）证明：直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．

化为：m（﹣x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令 ，解得 ，

则直线l经过定点Q（﹣1，﹣2）

（2）解：当m变化时，PQ⊥直线l时，

点P（3，1）到直线l的距离的最大= =5

（3）解：由于直线l经过定点Q（﹣1，﹣2）．直线l的斜率k存在且k≠0，

因此可设直线l的方程为y+2=k（x+1），

可得与x轴、y轴的负半轴交于A（ ，0），B（0，k﹣2）两点，

＜0，k﹣2＜0，解得k＜0．

∴∴S△OAB= × ×（2﹣k）= ≥2+ =4，当且仅当k=﹣2时取等号．

此时直线l的方程为：y+2=﹣2（x+1），化为：2x+y+4=0

【解析】（1）直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．化为：m（﹣x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令 ，解出即可得出直线l经过定点．（2）当m变化时，PQ⊥直线l时，点P（3，1）到直线l的距离的最大．（3）由于直线l经过定点Q（﹣1，﹣2）．直线l的斜率k存在且k≠0，因此可设直线l的方程为y+2=k（x+1），可得与x轴、y轴的负半轴交于A（ ，0），B（0，k﹣2）两点， ＜0，k﹣2＜0，解得k＜0．可得S△OAB= × ×（2﹣k）= ，利用基本不等式的性质即可得出．