Question

已知三次函数f（x）=

1

3

ax³-x²+x在（0，+∞）存在极大值点，则a的范围是（　　）

• A、（0，1）
• B、（0，1]
• C、（-∞，0）
• D、（-∞，0）∪（0，1）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：先求出f′（x）=ax²-2x+1，由题意得到f′（x）=0有两个不同的正实数根或一正一负根，对a＞0，a＜0讨论，列出等价条件别忘了△＞0且a≠0，再进行求解．

解答： 解：f（x）=

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3

ax³-x²+x的导数f′（x）=ax²-2x+1，
由于三次函数f（x）在（0，+∞）存在极大值点，
则f′（x）=0有两个不同的正实数根或一正一负根，
①当a＞0时，此时ax²-2x+1=0有两个不同的正实数根，
∴

△=4-4a＞0 2 a ＞0 1 a ＞0

，即0＜a＜1，
②当a＜0时，此时3ax²-2x+1=0有一正一负根，
只须△＞0，即4-4a＞0，⇒a＜1，
∴a＜0；
综上，则a的范围是（-∞，0）∪（0，1）．
故选D．

点评：本题考查了导数与函数的单调性的关系，以及极值的判断，本题的易错点是容易忽略二次项的系数不为零．