Question

【题目】设函数 的极值点．
（1）若函数f（x）在x=2的切线平行于3x﹣4y+4=0，求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：求导函数，可得

∵x=1是函数f（x）的极值点，函数f（x）在x=2的切线平行于3x﹣4y+4=0，

∴f′（1）=0，f′（2）=

∴

∴b=﹣ ，c=

∴函数f（x）的解析式为 ；

（2）解： （x＞0）

①若c＜0，则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0，即

∴

②若0＜c＜1，则f极大（x）=f（c）=clnc+ ，f极小（x）=f（1）=

∵b=﹣1﹣c，∴f极大（x）=clnc ，f极小（x）=

∴f（x）=0不可能有两解

③若c≥1，则f极小（x）=clnc ，f极大（x）= ，∴f（x）=0只有一解

综上可知，实数c的取值范围为 ．

【解析】（1）求导函数，利用x=1是函数f（x）的极值点，函数f（x）在x=2的切线平行于3x﹣4y+4=0，可得f′（1）=0，f′（2）= ，从而可求函数f（x）的解析式；（2） （x＞0），分类讨论：①若c＜0，则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0；②若0＜c＜1，则f极大（x）=clnc ，f极小（x）= ；③若c≥1，则f极小（x）=clnc ，f极大（x）= ，由此可确定实数c的取值范围．