Question

【题目】已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为 ， 焦距为2 ， 过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率。

Answer 1

【答案】解：（1）由题意可得2c=2，即c=，
又e==，解得a=，
b==1，
即有椭圆的方程为+y2=1；
（2）由直线l过D（1，0）且垂直于x轴，设A（1，y1），B（1，﹣y1），
AE的方程为y﹣1=（1﹣y1）（x﹣2），令x=3可得M（3，2﹣y1），
即有BM的斜率为k==1
【解析】（1）由已知条件先求出椭圆C的半焦距，再由离心率公式和a，b，c的关系可得a，b，由此能求出椭圆C的标准方程；
（2）由直线l过D（1，0）且垂直于x轴，设A（1，y1），B（1，﹣y1），求得AE的方程，求得M的坐标，再由直线的斜率公式计算即可得到所求值.