【题目】已知
(1)求的值;
(2)当x∈(﹣t,t](其中t∈(﹣1,1),且t为常数)时,f(x)是否存在最小值,如果存在求出最小值;如果不存在,请说明理由;
(3)当f(x﹣2)+f(4﹣3x)≥0时,求满足不等式f(x﹣2)+f(4﹣3x)≥0的x的范围.
【答案】解:(1)令,解得﹣1<x<1,即函数f(x)的定义域为(﹣1,1),关于原点对称.
又f(﹣x)=loga=loga(
)-1=﹣loga
=﹣f(x),
所以f(x)为奇函数,
所以=
﹣
=0.
(2)设﹣1<x1<x2<1,
则﹣
=
.
因为﹣1<x1<x2<1,
所以﹣
>0,即
>
.
所以在(﹣1,1)上为减函数,也在(﹣t,t]上为减函数,
①当a>1时,y=logat单调递增,t=单调递减,所以y=loga
在(﹣t,t]上单调递减,
此时f(x)存在最小值为f(t)=log.
②当0<a<1时,y=logat单调递减,t=单调递减,所以y=loga
在(﹣t,t]上单调递增,
此时f(x)不存在最小值.
综①②知,当a>1时,f(x)存在最小值为f(t)=loga.
(3)f(x﹣2)+f(4﹣3x)≥0可化为f(x﹣2)≥﹣f(4﹣3x),
由(1)知f(x)为奇函数,所以f(x﹣2)≥f(3x﹣4),
①当a>1时,由(2)知f(x)在(﹣1,1)上为减函数,
所以,解得1<x<
.
②当0<a<1时,由(2)知f(x)在(﹣1,1)上为增函数,
所以,解得为.
综①②得满足不等式f(x﹣2)+f(4﹣3x)≥0的x的范围为:(1,).
【解析】(1)由所求表达式的特点知,可判断函数的奇偶性;
(2)根据复合函数单调性的判定方法判断f(x)的单调性,由单调性可讨论f(x)的最小值情况;
(3)利用f(x)的奇偶性把f(x﹣2)+f(4﹣3x)≥0可化为f(x﹣2)≥f(3x﹣4),再利用f(x)的单调性即可解出不等式.
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的性质和函数的值的相关知识点,需要掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集;函数值的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法”;③反函数法;④换元法;⑤不等式法;⑥函数的单调性法才能正确解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知命题p:x∈(﹣∞,0),2x<3x;命题q:x∈(0,),tanx>sinx,则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q
B.p∨(﹁q)
C.(﹁p)∧q
D.p∧(﹁q)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设集合A=[0,),B=[
, 1],函数f (x)=
, 若x0∈A,且f[f (x0)]∈A,则x0的取值范围是( )
A.(0,]
B.[ ,
]
C.( ,
)
D.[0,]
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且f(1)=3,若a,b∈[﹣1,1],a+b≠0时,有>0成立.
(1)判断f(x)在[﹣1,1]上的单调性,并证明;
(2)解不等式:f(x+)<f(
);
(3)若当a∈[﹣1,1]时,f(x)≤m2﹣2am+3对所有的x∈[﹣1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设p:实数x满足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x 满足;
(1)若a=1且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xoy中,点A,B的坐标分别是(0,﹣3),(0,3)直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是﹣ .
(1)求点M的轨迹L的方程;
(2)若直线L经过点P(4,1),与轨迹L有且仅有一个公共点,求直线L的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数 的极值点.
(1)若函数f(x)在x=2的切线平行于3x﹣4y+4=0,求函数f(x)的解析式;
(2)若f(x)=0恰有两解,求实数c的取值范围.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com