【题目】在平面直角坐标系xoy中,点A,B的坐标分别是(0,﹣3),(0,3)直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是﹣ .
(1)求点M的轨迹L的方程;
(2)若直线L经过点P(4,1),与轨迹L有且仅有一个公共点,求直线L的方程.
【答案】
解:(1)设M(x,y),则:(x≠0);
∴点M的轨迹方程为:x2+2y2=18(x≠0);
(2)若直线L不存在斜率,则方程为:x=4;
x=4带入轨迹方程可得y=±1,即直线L和轨迹L有两个公共点,不合题意;
∴设直线L斜率为k,则方程为:y=kx﹣4k+1,带入轨迹方程并整理得:
(1+2k2)x2+4k(1﹣4k)x+16(2k2﹣k﹣1)=0;
∵直线L与轨迹L只有一个公共点,所以:
△=16k2(1﹣4k)2﹣64(1+2k2)(2k2﹣k﹣1)=0;
解得k=﹣2;
∴直线L的方程为:y=﹣2x+9.
【解析】(1)求M点的轨迹方程,所以设M(x,y),根据直线AM,BM的斜率之积是﹣ , 即可求得关于x,y的等式,即点M的轨迹方程:x2+2y2=18;
(2)若直线L不存在斜率,则容易判断它和轨迹L有两个交点,不合题意;存在斜率时设斜率为k,然后根据直线L经过点P可写出直线L的方程,将直线方程带入轨迹方程可得到关于x的方程,让该方程有一个解求k即可得到直线L的方程.
【考点精析】利用一般式方程对题目进行判断即可得到答案,需要熟知直线的一般式方程:关于的二元一次方程
(A,B不同时为0).
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【题目】设P,Q是两个集合,定义集合P﹣Q={x|x∈P且xQ}为P,Q的“差集”,已知P={x|1﹣ <0},Q={x||x﹣2|<1},那么P﹣Q等于( )
A.{x|0<x<1}
B.{x|0<x≤1}
C.{x|1≤x<2}
D.{x|2≤x<3}
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【题目】已知
(1)求的值;
(2)当x∈(﹣t,t](其中t∈(﹣1,1),且t为常数)时,f(x)是否存在最小值,如果存在求出最小值;如果不存在,请说明理由;
(3)当f(x﹣2)+f(4﹣3x)≥0时,求满足不等式f(x﹣2)+f(4﹣3x)≥0的x的范围.
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【题目】求下列曲线的标准方程:
(1)与椭圆x2+4y2=16有相同焦点,过点p( ,
),求此椭圆标准方程;
(2)求以原点为顶点,以坐标轴为对称轴,且焦点在直线3x﹣4y﹣12=0的抛物线的标准方程.
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【题目】已知双曲线过点P(﹣3 , 4),它的渐近线方程为y=±
x.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设F1和F2为该双曲线的左、右焦点,点P在此双曲线上,且|PF1||PF2|=41,求∠F1PF2的余弦值.
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【题目】甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一天二十四小时内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1小时,乙船停泊时间为2小时,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.
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【题目】已知函数f(x)=ax3+|x-a|,aR.
(1)若a=-1,求函数y=f(x) (x [0,+∞))的图象在x=1处的切线方程;
(2)若g(x)=x4,试讨论方程f(x)=g(x)的实数解的个数;
(3)当a>0时,若对于任意的x1 [a,a+2],都存在x2
[a+2,+∞),使得f(x1)f(x2)=1024,求满足条件的正整数a的取值的集合.
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