Question

【题目】求下列曲线的标准方程：
（1）与椭圆x2+4y2=16有相同焦点，过点p（ ， ），求此椭圆标准方程；
（2）求以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x﹣4y﹣12=0的抛物线的标准方程．

Answer 1

【答案】
解：（1）∵椭圆x2+4y2=16，∴，其焦点坐标为（，0），
设所求椭圆方程为，（a＞b＞0），其焦点坐标为（，0），
∴c2=12=a2﹣b2 ， ①
又∵椭圆过点P（，），∴=1，②
解①②组成的方程组得，
∴椭圆方程为．
（2）∵抛物线的焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，
∴焦点坐标为（0，﹣3）或（4，0）．
当焦点（0，﹣3）时，
设抛物线方程为x2=﹣2py，=3，p=6抛物线方程为x2=﹣12y，
当焦点（4，0）时，
设抛物线方程为y2=2px，=4，p=8抛物线方程为y2=16x．
∴抛物线方程为y2=16x或x2=﹣12y．
【解析】（1）所求椭圆方程为 ， （a＞b＞0），其焦点坐标为（ ， 0），再由椭圆过点P（ ， ），能求出a，b，从而能求出椭圆方程．
（2）由抛物线的焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，得焦点坐标为（0，﹣3）或（4，0），由此能求出抛物线方程．