Question

（2012•浙江模拟）已知向量

a

，

b

满足|

a

|=2|

b

|≠0，且关于x的函数f（x）=2x³+3|

a

|x²+6

a

•

b

x+5 在实数集R上单调递增，则向量

a

，

b

的夹角的取值范围是（　　）

• A．[0.

  π

  6

  ]
• B．[0，

  π

  3

  ]
• C．（0，

  π

  3

  ]
• D．[

  π

  3

  ，π]

Answer 1

分析：求导数，利用函数f（x）=2x³+3|a|x²+6a•bx+5 在实数集R上单调递增，可得判别式小于等于0在R上恒成立，再利用|

a

|=2|

b

|≠0，利用向量的数量积，即可得到结论．

解答：解：求导数可得f′（x）=6x²+6|

a

|x+6

a

•

b

，则由函数f（x）=2x³+3|a|x²+6a•bx+5 在实数集R上单调递增，
可得f′（x）=6x²+6|

a

|x+6

a

•

b

≥0恒成立，即 x²+|

a

|x+

a

•

b

≥0恒成立，故判别式△=

a

2-4

a

•

b

≤0 恒成立，
再由|

a

|=2|

b

|≠0，可得 4 |

b

|2≤8|

b

|•|

b

|cos＜

a

，

b

＞，
∴cos＜

a

，

b

＞≥

1

2

，
∴＜

a

，

b

＞∈[0，

π

3

]，
故选B．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查向量的数量积，解题的关键是利用判别式小于等于0在R上恒成立，属于中档题．